碰撞模型中的速度关系推导
一、动量守恒与动能守恒联立推导弹性碰撞中速度关系
高中经典弹性碰撞模型中的速度推导。
已知两小球质量m_{1},m_{2} , v_{1},v_{2} ,其中 v_{1}>v_{2} ,方向向右为正。
满足完全弹性碰撞,碰撞过程中能量不损失
初始动量守恒方程:
m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}=m_{1}v_{1}^{'}+m_{2}v_{2}^{'} ①
动能守恒方程:
\frac{1}{2}m_{1}v_{1}^{2}+\frac{1}{2}m_{2}v_{2}^{2}=\frac{1}{2}m_{1}v_{1}^{'2}+\frac{1}{2}m_{2}v_{2}^{'2} ②
将方程②系数化1后按照同质量移项
m_{1}v_{1}^{2}+m_{2}v_{2}^{2}=m_{1}v_{1}^{'2}+m_{2}v_{2}^{'2}
m_{1}v_{1}^{2}-m_{1}v_{1}^{'2}=m_{2}v_{2}^{'2}-m_{2}v_{2}^{2}
m_{1}(v_{1}^{2}-v_{1}^{'2})=m_{2}(v_{2}^{'2}-v_{2}^{2})
平方差展开得到
m_{1}(v_{1}-v_{1}^{'})(v_{1}+v_{1}^{'})=m_{2}(v_{2}^{'}-v_{2})(v_{2}^{'}+v_{2}) ③
将①式按照质量移项得到
m_{1}(v_{1}-v_{1}^{'})=m_{2}(v_{2}^{'}-v_{2}) ④
将方程③④作比
\frac{m_{1}(v_{1}-v_{1}^{'})(v_{1}+v_{1}^{'})=m_{2}(v_{2}^{'}-v_{2})(v_{2}^{'}+v_{2})}{m_{1}(v_{1}-v_{1}^{'})=m_{2}(v_{2}^{'}-v_{2})}
v_{1}+v_{1}^{'}=v_{2}^{'}+v_{2}
得到质心运动守恒公式
也称为相对速度不变,即碰撞前后两球相对速度不变
v_{1}-v_{2}=v_{2}^{'}-v_{1}^{'}
v_{2}^{'}=v_{1}-v_{2}+v_{1}^{'}
代入方程①
m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}=m_{1}v_{1}^{'}+m_{2}(v_{1}-v_{2}+v_{1}^{'}) m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}=m_{1}v_{1}^{'}+m_{2}v_{1}-m_{2}v_{2}+m_{2}v_{1}^{'} m_{1}v_{1}-m_{2}v_{1}+m_{2}v_{2}+m_{2}v_{2}=m_{1}v_{1}^{'}+m_{2}v_{1}^{'} (m_{1}-m_{2}) v_{1}+2m_{2}v_{2}= (m_{1}+m_{2}) v_{1}^{'}
分离得
v_{1}^{'}=\frac{(m_{1}-m_{2})v_{1}+2m_{2}v_{2}}{ m_{1}+m_{2} } ⑤
同理
v_{2}^{'}=\frac{(m_{2}-m_{1})v_{2}+2m_{1}v_{1}}{ m_{1}+m_{2} } ⑥
⑤⑥即为所求速度关系
通过上述公式易得“一静一动”模型速度关系
让⑤,⑥式中的 v_2=0
可得
v_{1}^{'}=\frac{m_{1}-m_{2}}{ m_{1}+m_{2} }v_{1}
v_{2}^{'}=\frac{2m_{1}}{ m_{1}+m_{2} }v_{1}
二、恢复系数与各种碰撞情况的讨论
1.恢复系数
恢复系数恢复系数能反映碰撞时物体变形恢复能力的参数
e=\frac{ v_{2}^{'}-v_{1}^{'} }{ v_1 - v_2 }
从上一节的速度推导中获得相对速度守恒公式
v_{1}-v_{2}=v_{2}^{'}-v_{1}^{'}
所以在弹性碰撞中恢复系数 e= e=1
当发生完全非弹性碰撞时,动能损失最大
有速度关系: v_{1}^{'}=v_{2}^{'} , e=0
2.情况讨论
只讨论“一静一动”模型中的速度关系
(1) 当 m_1\gg m_2 时
因为 v_{2}^{'}=\frac{2v_1}{1+\frac{m_2}{m_1}}
此时 v_{1}^{'}=v_1,v_{2}^{'}\approx2v_1
即碰撞后 m_1 速度几乎不变,而 m_2 以 m_1 两倍的速度向前运动。
(2)当 m_1\ll m_2 时 m_1 获得了最大动量
因 p_{2}^{'}=m_{2}v_{2}^{'}=\frac{2m_{1}m_{2}v_{1}}{m_{1}+m_{2}}=\frac{2m_{1}v_{1}}{\frac{m_1}{m_{2}}+1}
p_{max}=2m_1v_1=2p_1
此时 v_{1}^{'}=-v_1
即碰撞后 m_1 以原来的速率(速度大小不变,方向改变)弹回。获得最大动量
(3)当 m_1=m_2 时,速度交换,动量交换,动能交换。
E_{k2}=\frac{1}{2}m_{2}v_{2}^{'2}=\frac{1}{2}m_{2}(\frac{2m_{1}v_{1}}{ m_{1}+m_{2} })^{2}=\frac{1}{2}m_1v_1^{2}\frac{4m_1m_2}{(m_1+m_2 )^{2}}
此时 E_{k2} 最大为 E_{km}=\frac{1}{2}m_1v_1^2=E_{k1}
(4)完全非弹性碰撞的情况和计算技巧
特点
- 没有恢复阶段,恢复系数为0
- 有共同速度
- 动能损失最大
m_1v_1+m_2v_2=(m_1+m_2)v
动能损失
\Delta E_k = (\frac{1}{2}m_1v_1^{2}+\frac{1}{2}m_2v_2^{2})-\frac{1}{2}(m_1+m_2)v^{2}
一个处理完全非弹性碰撞时的运算技巧
由于题目往往给出质量关系,可用 E_k=\frac{p^2}{2m} 来直接通过质量关系和动量守恒求解动能变化。
例如 m_1=m,m_2=m,p_1=p,p_2=0 , m_1,m_2 发生完全非弹性碰撞后求动能损失。
m_1 所具有的动能E_{k1}=\frac{p^2}{2m} ,碰撞后的动能: E_{k1}^{'}=\frac{p^2}{2\cdot2m} ,
则损失的动能为 E_{k1}-E^{'}_{k1}=\frac{1}{2}E_k 。
2019-12-2更新内容
- 重新设计示意图并加入角标
- 增加完全非弹性碰撞的情况讨论
- 勘误一处
2020-1-16更新内容
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