碰撞模型中的速度关系推导

碰撞模型中的速度关系推导

一、动量守恒与动能守恒联立推导弹性碰撞中速度关系

高中经典弹性碰撞模型中的速度推导。

已知两小球质量m_{1},m_{2}v_{1},v_{2} ,其中 v_{1}>v_{2} ,方向向右为正。

满足完全弹性碰撞,碰撞过程中能量不损失

初始动量守恒方程:

m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}=m_{1}v_{1}^{'}+m_{2}v_{2}^{'}

动能守恒方程:

\frac{1}{2}m_{1}v_{1}^{2}+\frac{1}{2}m_{2}v_{2}^{2}=\frac{1}{2}m_{1}v_{1}^{'2}+\frac{1}{2}m_{2}v_{2}^{'2}

将方程②系数化1后按照同质量移项

m_{1}v_{1}^{2}+m_{2}v_{2}^{2}=m_{1}v_{1}^{'2}+m_{2}v_{2}^{'2}

m_{1}v_{1}^{2}-m_{1}v_{1}^{'2}=m_{2}v_{2}^{'2}-m_{2}v_{2}^{2}

m_{1}(v_{1}^{2}-v_{1}^{'2})=m_{2}(v_{2}^{'2}-v_{2}^{2})

平方差展开得到

m_{1}(v_{1}-v_{1}^{'})(v_{1}+v_{1}^{'})=m_{2}(v_{2}^{'}-v_{2})(v_{2}^{'}+v_{2})

将①式按照质量移项得到

m_{1}(v_{1}-v_{1}^{'})=m_{2}(v_{2}^{'}-v_{2})

将方程③④作比

\frac{m_{1}(v_{1}-v_{1}^{'})(v_{1}+v_{1}^{'})=m_{2}(v_{2}^{'}-v_{2})(v_{2}^{'}+v_{2})}{m_{1}(v_{1}-v_{1}^{'})=m_{2}(v_{2}^{'}-v_{2})}

v_{1}+v_{1}^{'}=v_{2}^{'}+v_{2}

得到质心运动守恒公式

也称为相对速度不变,即碰撞前后两球相对速度不变

v_{1}-v_{2}=v_{2}^{'}-v_{1}^{'}

v_{2}^{'}=v_{1}-v_{2}+v_{1}^{'}

代入方程①

m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}=m_{1}v_{1}^{'}+m_{2}(v_{1}-v_{2}+v_{1}^{'}) m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}=m_{1}v_{1}^{'}+m_{2}v_{1}-m_{2}v_{2}+m_{2}v_{1}^{'} m_{1}v_{1}-m_{2}v_{1}+m_{2}v_{2}+m_{2}v_{2}=m_{1}v_{1}^{'}+m_{2}v_{1}^{'} (m_{1}-m_{2}) v_{1}+2m_{2}v_{2}= (m_{1}+m_{2}) v_{1}^{'}

分离得

v_{1}^{'}=\frac{(m_{1}-m_{2})v_{1}+2m_{2}v_{2}}{ m_{1}+m_{2} }

同理

v_{2}^{'}=\frac{(m_{2}-m_{1})v_{2}+2m_{1}v_{1}}{ m_{1}+m_{2} }

⑤⑥即为所求速度关系

通过上述公式易得“一静一动”模型速度关系

让⑤,⑥式中的 v_2=0

可得

v_{1}^{'}=\frac{m_{1}-m_{2}}{ m_{1}+m_{2} }v_{1}

v_{2}^{'}=\frac{2m_{1}}{ m_{1}+m_{2} }v_{1}

二、恢复系数与各种碰撞情况的讨论

1.恢复系数

恢复系数恢复系数能反映碰撞时物体变形恢复能力的参数

e=\frac{ v_{2}^{'}-v_{1}^{'} }{ v_1 - v_2 }

从上一节的速度推导中获得相对速度守恒公式

v_{1}-v_{2}=v_{2}^{'}-v_{1}^{'}

所以在弹性碰撞中恢复系数 e= e=1

当发生完全非弹性碰撞时,动能损失最大

有速度关系: v_{1}^{'}=v_{2}^{'} , e=0

2.情况讨论

只讨论“一静一动”模型中的速度关系

(1) 当 m_1\gg m_2

因为 v_{2}^{'}=\frac{2v_1}{1+\frac{m_2}{m_1}}

此时 v_{1}^{'}=v_1,v_{2}^{'}\approx2v_1

即碰撞后 m_1 速度几乎不变,而 m_2 m_1 两倍的速度向前运动。

(2)当 m_1\ll m_2m_1 获得了最大动量

p_{2}^{'}=m_{2}v_{2}^{'}=\frac{2m_{1}m_{2}v_{1}}{m_{1}+m_{2}}=\frac{2m_{1}v_{1}}{\frac{m_1}{m_{2}}+1}

p_{max}=2m_1v_1=2p_1

此时 v_{1}^{'}=-v_1

即碰撞后 m_1 以原来的速率(速度大小不变,方向改变)弹回。获得最大动量

(3)当 m_1=m_2 时,速度交换,动量交换,动能交换。

E_{k2}=\frac{1}{2}m_{2}v_{2}^{'2}=\frac{1}{2}m_{2}(\frac{2m_{1}v_{1}}{ m_{1}+m_{2} })^{2}=\frac{1}{2}m_1v_1^{2}\frac{4m_1m_2}{(m_1+m_2 )^{2}}

此时 E_{k2} 最大为 E_{km}=\frac{1}{2}m_1v_1^2=E_{k1}

(4)完全非弹性碰撞的情况和计算技巧

特点

m_1v_1+m_2v_2=(m_1+m_2)v

动能损失

\Delta E_k = (\frac{1}{2}m_1v_1^{2}+\frac{1}{2}m_2v_2^{2})-\frac{1}{2}(m_1+m_2)v^{2}

一个处理完全非弹性碰撞时的运算技巧

由于题目往往给出质量关系,可用 E_k=\frac{p^2}{2m} 来直接通过质量关系和动量守恒求解动能变化。

例如 m_1=m,m_2=m,p_1=p,p_2=0 , m_1,m_2 发生完全非弹性碰撞后求动能损失。

m_1 所具有的动能E_{k1}=\frac{p^2}{2m} ,碰撞后的动能: E_{k1}^{'}=\frac{p^2}{2\cdot2m} ,

则损失的动能为 E_{k1}-E^{'}_{k1}=\frac{1}{2}E_k

2019-12-2更新内容

2020-1-16更新内容

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