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计算流体力学——从原理到算法(八):可压缩无粘流的计算方法(4)Riemann 问题的精确解(初稿)

计算流体力学——从原理到算法(八):可压缩无粘流的计算方法(4)Riemann 问题的精确解(初稿)

的确这部分的内容…也就仅仅是理论上严格去算出来,大家可以发现想要理解Riemann问题——流体控制偏微分方程最最基本也非常简单的初值问题,的解,也是异常复杂令人沮丧的一个过程。不仅仅是推理长,复杂繁琐的符号和层出不穷的分类讨论,使得几乎没什么人愿意干嚼完这些知识…所以我暂时也没有太过认真去写这一块,仅仅是强迫自己填了这个部分,以方便我们接着进入实际中最常见的Riemann问题近似解的部分。

我在考虑要不要尝试用视频的形式来展示理论推动过程,不知道有没有那个时间精力。也许也没有人想看吧。

Godunov Scheme的基本思想

  1. 在每个单元格点定义体积平均值 U_i^n ,重建分段多项式函数 \tilde { u } ^ { n } ( x ) (在 [x_{i-1/2}, x_{i+1/2}] 上定义)(注意,上标n不是指数!代表的是时间为n的时候的分段函数!!)
  2. 最简单的情况(分段常数函数): \tilde { u } ^ { n } ( x ) = U _ { i } ^ { n } \text{ for } x _ { i - 1/ 2} \leq x < x _ { i -1 / 2}
  3. 使用n-阶分段多项式函数 \tilde { u } ^ { n } ( x )作为初始条件,在一个时间单位上 \Delta t ,对双曲方程进行精确(或近似)来获得下一步的解 \tilde { u } ^ { n + 1} ( x )
  4. 在每个单元上求平均值 U _ { i } ^ { n + 1} = \frac { 1} { \Delta x } \int _ { x _ { i - 1/ 2} } ^ { x _ { i + 1/ 2} } \tilde { u } ^ { n + 1} ( x ) d x 以获得新的单元平均值

精确求解一维完全气体的Euler方程的Riemann问题:


\mathbf { U } _ { t } + F ( \mathbf { U } ) _ { x } = 0 \\ \mathbf { U } = \left( \begin{array} { c } { \rho } \\ { \rho u} \\ { E } \end{array} \right) = : \left( \begin{array} { c } { u_ { 1} } \\ { u_ { 2} } \\ { u_ { 3} } \end{array} \right) \\ F = \left( \begin{array} { c } { \rho u} \\ { \rho u^ { 2} + p } \\ { u( E + p ) } \end{array} \right) = : \left( \begin{array} { c } { f _ { 1} } \\ { f _ { 2} } \\ { f _ { 3} } \end{array} \right) \\ \mathbf { U }( x ,0) = \mathbf { U }^ { ( 0) } ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \mathbf { U }_ { \text{L} } } & { \text{ if } x < 0} \\ { \mathbf { U }_ { R } } & { \text{ if } x > 0} \end{array} \right.

问题等价于确定 p _ { * }~~ u _ { * } ~~ \rho _ { * ,L} ~~\rho _ { * ,R}

对于一般的 U_{L}, U_R ,2-波的类型是接触间断,是已知的,1波和3波,或者是激波,或者是稀疏波——波的类型需要我们计算确认下来。

由于压力p穿过2波保持不变,所以寻求关于单个未知压力 p_{*} 的方程就比计算穿过2波有变化的量要容易


f_L 表达式的推导

左波是速度SL的激波:(a)静止参考系,激波速度是SL(b)参考系以速度SL移动,激波速度为零

我们假设左激波以 S_L 速度自左向右移动,如图a所示; 波前值为ρL,uL和pL,波后值为ρ* L,u *和p *。

我们选取随激波而一起移动的参照系,如图4.4b所示。 在新的框架中,冲击速度为零,相对之下波前波后的速度为: \hat { u } _ { L } = u _ { L } - S _ { L } ,\hat { u } _ { * } = u _ { * } - S _ { L }

回顾,第三讲( 计算流体力学——从原理到代码(三):非线性方程的黎曼问题与初等波(超长预警))我们推导出的 Rankine-Hugoniot 条件:

\left \{\begin{array} { c } \rho _ { L } \hat { u } _ { L } = \rho _ { * L } \hat { u } _ { * } & (1) \\ { \rho _ { \text{L} } \hat { u } _ { \text{L} } ^ { 2} + p _ { \text{L} } = \rho _ { * L } \hat { u } _ { * } ^ { 2} + p _ { * } } &(2) \\ { \hat { u } _ { L } \left( \hat { E } _ { L } + p _ { L } \right) = \hat { u } _ { * } \left( \hat { E } _ { * L } + p _ { * } \right) } &(3)\end{array} \right.

注意到,单位体积内,密度乘以速度,就是质量从右往左的流量变化,记为 Q_L :

Q _ { \text{L} } \equiv \rho _ { \text{L} } \hat { u } _ { L } = \rho _ { * L } \hat { u } _ { * }

第二个公式可以推出:

\left( \rho _ { \text{L} } \hat { u } _ { \text{L} } \right) \hat { u } _ { L } + p _ { \text{L} } = \left( \rho _ { * L } \hat { u } _ { * } \right) \hat { u } _ { * } + p _ { * } \Rightarrow Q _ { \text{L} } = - \frac { p _ { * } - p _ { \text{L} } } { \hat { u } _ { * } - \hat { u } _ { L } }

再返回原来的参考系,由参考系的变换关系: \hat { u } _ { L } = u _ { L } - S _ { L } ,\hat { u } _ { * } = u _ { * } - S _ { L } ,QL就得到

Q _ { \text{L} } = - \frac { p _ { * } - p _ { \text{L} } } { u _ { * } - u _ { \text{L} } }

所以,未知的 u_* 的表达式:

u _ { * } = u _ { L } - \frac { \left( p _ { * } - p _ { L } \right) } { Q _ { \text{L} } }


我们希望,表达式里的自变量,仅仅和已知的物理量 \mathbf { W } _ { L } 以及同样要求的 p _ { * } 有关,于是乎,我们要将 Q_L 进行整理:

\hat { u } _ { L } = \frac { Q _ { \text{L} } } { \rho _ { \text{L} } } ,\quad \hat { u } _ { * } = \frac { Q _ { L } } { \rho _ { * L } } 代入到RH条件得到的第三个公式, Q _ { \text{L} } ^ { 2} = - \frac { p _ { * } - p _ { \text{L} } } { \frac { 1} { \rho _ { * L } } - \frac { 1} { \rho _ { L } } }

因为密度 \rho_{*,L}p_* 在左激波处的关系式:

\rho _ { * \text{L} } = \rho _ { \text{L} } \left[ \frac { \left( \frac { \gamma - 1} { \gamma + 1} \right) + \left( \frac { p _ { * } } { p _ { L } } \right) } { \left( \frac { \gamma - 1} { \gamma + 1} \right) \left( \frac { p _ { * } } { p _ { L } } \right) + 1} \right]

所以代入QL,得到:

Q _ { \text{L} } = \left[ \frac { p _ { * } + B _ { \text{L} } } { A _ { \text{L} } } \right] ^ { \frac { 1} { 2} }


最后带回 u _ { * } = u _ { L } - \frac { \left( p _ { * } - p _ { L } \right) } { Q _ { \text{L} } } , 得到之前我们给出的公式:

u _ { * } = u _ { L } - f _ { L } \left( p _ { * } ,\mathbf { W } _ { \text{L} } \right)\\ \text{where}~~f _ { L } \left( p _ { * } ,\mathbf { W } _ { L } \right) = \left( p _ { * } - p _ { \text{L} } \right) \left[ \frac { A _ { \text{L} } } { p _ { * } + B _ { \text{L} } } \right] ^ { \frac { 1} { 2} }\\ \text{and}~~ A _ { L } = \frac { 2} { ( \gamma + 1) \rho _ { \text{L} } } ,\quad B _ { \text{L} } = \frac { ( \gamma - 1) } { ( \gamma + 1) } p _ { L }



左稀疏波:

左波是稀疏波

现在我们来推导fL的表达式,其中左波是稀疏波。

未知物理状态 W_{*L} 通过熵条件,连接到左侧已知的初始物理量 W_L ,广义黎曼不变量穿过稀疏波不变。

对于根据热力学等熵定理: p = C \rho ^ { \gamma } ,其中C是一个常数,可以用于各种稀疏波情形。

运用等熵定理,由已知的值计算C的值,即: C = p _ { \text{L} } / \rho _ { \text{L} } ^ { \gamma }

因此对于星号区域里面的密度: \rho _ { * L } = \rho _ { \text{L} } \left( \frac { p _ { * } } { p _ { L } } \right) ^ { \frac { 1} { \gamma } }


因为广义黎曼不变量 I_L(u,a) 穿过稀疏波是不变的,于是从已知的物理量可以推出: u _ { L } + \frac { 2a _ { L } } { \gamma - 1} = u _ { * } + \frac { 2a _ { * } L } { \gamma - 1}

其中 a_L, a_{*L} 即稀疏波的左右状态的声波波速, a _ { * L } = a _ { L } \left( \frac { p _ { * } } { p _ { L } } \right) ^ { \frac { \gamma - 1} { 2\gamma } }

带回上面式子 u _ { L } + \frac { 2a _ { L } } { \gamma - 1} = u _ { * } + \frac { 2a _ { * } L } { \gamma - 1}


u _ { * } = u _ { L } - f _ { L } \left( p _ { * } ,\mathbf { W } _ { L } \right)\\ \text{where } f _ { L } \left( p _ { * } ,\text{W} _ { \text{L} } \right) = \frac { 2a _ { \text{L} } } { ( \gamma - 1) } \left[ \left( \frac { p _ { * } } { p _ { L } } \right) ^ { \frac { \gamma - 1} { 2\gamma } } - 1\right]


p_∗ , u_∗ 的解:

f \left( p ,\mathbf { W } _ { L } ,\mathbf { W } _ { R } \right) \equiv f _ { L } \left( p ,\mathbf { W } _ { L } \right) + f _ { \text{R} } \left( p ,\mathbf { W } _ { R } \right) + \Delta u = 0,\Delta u \equiv u _ { \text{R} } - u _ { \text{L} }

其中, f_L 具体表达式:

f _ { L } \left( p ,\mathbf { W } _ { L } \right) = \left\{ \begin{array} { l} { \left( p - p _ { L } \right) \left[ \frac { A _ { L } } { p + B _ { L } } \right] ^ { \frac { 1} { 2} } } & { \text{ if } p > p _ { L } } \\ { \frac { 2a _ { L } } { ( \gamma - 1) } \left[ \left( \frac { p } { p _ { L } } \right) ^ { \frac { \gamma - 1} { 2\gamma } } - 1\right]}&{ \text{ if } p \leq p _ { L } } \end{array} \right.

同样的, f_R 的表达式:

f _ { \text{R} } \left( p ,\mathbf { W } _ { R } \right) = \left\{ \begin{array} { l } { \left( p - p _ { R } \right) \left[ \frac { A _ { R } } { p + B _ { R } } \right] ^ { \frac { 1} { 2} } } &{\text{if}~~ p >p_R} \\ { \frac { 2a _ { R } } { ( \gamma - 1) } \left[ \left( \frac { p } { p _ { R } } \right) ^ { \frac { \gamma - 1} { 2\gamma } } - 1\right] } &{\text{if}~~ p \le p_R} \end{array}\right.


而式子中, A _ { L } ,B _ { L } ,A _ { R } ,B _ { R } 由Riemann初值决定:

A _ { L } = \frac { 2} { ( \gamma + 1) \rho _ { \text{L} } } ,\quad B _ { \text{L} } = \frac { ( \gamma - 1) } { ( \gamma + 1) } p _ { L }\\ A _ { R } = \frac { 2} { ( \gamma + 1) \rho _ { \text{R} } } ,\quad B _ { \text{R} } = \frac { ( \gamma - 1) } { ( \gamma + 1) } p _ { \text{R} }

中间星号区域的速度 u_* 的公式:

u _ { * } = \frac { 1} { 2} \left( u _ { L } + u _ { R } \right) + \frac { 1} { 2} \left[ f _ { R } \left( p _ { * } \right) - f _ { L } \left( p _ { * } \right) \right]


给定了Riemann问题的初值: \rho _ { L } ,u _ { L } ,p _ { L } \text{ and } \rho _ { R } ,u _ { R } ,p _ { R } ,我们前面推导出了关于中间区域压力的方程:


f _ { L } \left( p ,\mathbf { W } _ { L } \right) = \left\{ \begin{array} { l} { \left( p - p _ { L } \right) \left[ \frac { A _ { L } } { p + B _ { L } } \right] ^ { \frac { 1} { 2} } } & { \text{ if } p > p _ { L } } \\ { \frac { 2a _ { L } } { ( \gamma - 1) } \left[ \left( \frac { p } { p _ { L } } \right) ^ { \frac { \gamma - 1} { 2\gamma } } - 1\right]}&{ \text{ if } p \leq p _ { L } } \end{array} \right.\\ f _ { \text{R} } \left( p ,\mathbf { W } _ { R } \right) = \left\{ \begin{array} { l } { \left( p - p _ { R } \right) \left[ \frac { A _ { R } } { p + B _ { R } } \right] ^ { \frac { 1} { 2} } } &{\text{if}~~ p >p_R} \\ { \frac { 2a _ { R } } { ( \gamma - 1) } \left[ \left( \frac { p } { p _ { R } } \right) ^ { \frac { \gamma - 1} { 2\gamma } } - 1\right] } &{\text{if}~~ p \le p_R} \end{array}\right.


我们下面研究这个函数的性质 (因为我们想着,如果函数性质不好,再好的解析表达式,也很难求解,最简单就比如说高次多项式求根)

那么

f'_K = \frac{\partial f_K(p,\textbf{W}_K)}{\partial p}, ( K = L ,R )\\ \Rightarrow f _ { K } ^ { \prime } = \left\{ \begin{array} { l} { \left( \frac { A _ { K } } { B _ { K + p } } \right) ^ { 1/ 2} \left[ 1- \frac { p - p _ { K } } { 2\left( B _ { K } + p \right) } \right] } &{\text{ if } p > p _ { K } \text{ (shock) }} \\ { \frac { 1} { \rho _ { K } a _ { K } } \left( \frac { p } { p _ { K } } \right) ^ { - ( \gamma + 1) / 2\gamma } } & \text{ if } p \leq p _ { K } ( \text{ rarefaction } ) \end{array} \right.


因为 f '= f'_L + f'_R ,由于 f'_K > 0 ,所以 f(p) 是单调函数


接着,我们来看二次导数

f''_K= \left\{ \begin{array} { l } { - \frac { 1} { 4} \left( \frac { A _ { K } } { B _ { K } + p } \right) ^ { 1/ 2} \left[ \frac { 4B _ { K } + 3p + p _ { K } } { \left( B _ { K } + p \right) ^ { 2} } \right] } &\text{ if } p > p _ { K } ( \text{ shock } ) \\ { - \frac { ( \gamma + 1) a _ { K } } { 2\gamma ^ { 2} p _ { K } ^ { 2} } \left( \frac { p } { p _ { K } } \right) ^ { - ( 3\gamma + 1) / 2\gamma } } & \text{ if } p \leq p _ { K } ( \text{ rarefaction } ) \end{array} \right.

因为 f’’_K < 0 \Rightarrow f ^ { \prime \prime } = f _ { L } ^ { \prime \prime } + f _ { R } ^ { \prime \prime } < 0 ,所以 f(p) 增长率越来越小,直观来看:

f(p) 的这种性质,决定了我们可以选取适当的迭代法,来寻找 f(p)= 0 的零点 p_* ,而两个重要的参数分别是:速度差 Δu= uR-uL 和压力值 p_L, p_R

因此,定义:

p _ { \min } = \min \left( p _ { L } ,p _ { \text{R} } \right) ,\quad p _ { \text{max} } = \max \left( p _ { L } ,p _ { \text{R} } \right)\\ f _ { \min } = f \left( p _ { \min } \right) ,\quad f _ { \max } = f \left( p _ { \max } \right)

对于给定的压力值 p_L, p_R ,实际上是速度差 Δu= uR-uL 决定了 p_* 的值,那么我们考虑三个区间:

p _ { * } \operatorname{lies} \text{ in } I _ { 1} = \left( 0,p _ { \min } \right) \quad \text{ if } f _ { \text{min} } > 0\text{ and } f _ { \max } > 0\\ p _ { * } \operatorname{lies} \text{ in } I _ { 2} = \left[ p _ { \min } ,p _ { \max } \right] \text{ if } f _ { \min } \leq 0\text{ and } f _ { \max } \geq 0 \\ p _ { * } \operatorname{lies} \text{ in } I _ { 3} = \left( p _ { \text{max} } ,\infty \right) \quad \text{ if } f _ { \text{min} } < 0\text{ and } f _ { \text{max} } < 0

对足够大的 \Delta u ,比如说上图中的 (\Delta u)_1 ,解 p _* = p _{* 1},位于 I1 区间里面,因此 p _* <p_L,p_ * <p_R 所以两个非线性波都是稀疏波

如果的 Δu = (Δu)2p_ * = p _{* 2} 位于pL和pR之间,因此一个非线性波是一个稀疏波,另一个是冲击波。

对于足够小的Δu值,如图中的 (Δu)3p_ * = p _{* 3} 位于I3中,即 p _*> p_L,p_ *> p_R ,这意味着两个非线性波都是冲击波。

总之,我们通过 fmin 和 fmax 的符号来识别p *所在的区间。

关于 f(p) 的另一个观察是:在 I1 中,f'(p) 和 f''(p) 快速变化; 当搜索 f(p)= 0 的根时,可能产生数值上的困难。——相比而言,随着p增大,f(p) 的形状趋于类似于直线的形状,求根会轻松很多。


关于真空:

此外,对于非真空初始数据W_L,W_R,如果Δu足够小,则存在用于压力的唯一正解p *。事实上,即使对于数据状态为非真空状态的情况,在黎曼问题的解中,Δu 大于临界值(Δu)的值也会导致真空。

临界值可以根据初始物理量进行分析。很显然,对于压力p *的正解,我们需要f(0)<0,即正压力条件

( \Delta u ) _ { \text{ crit } } \equiv \frac { 2a _ { L } } { \gamma - 1} + \frac { 2a _ { R } } { \gamma - 1} > u _ { R } - u _ { L }

如果违反这种条件,则非线性波会产生真空。在这种情况下,解决方案的结构与图4.1中描述的不同,解决方法也是如此,我们将在后面有机会讨论





function F = godunov_scheme(U_l,U_r,t)
% Computing F_i+1/2 Using Godunov Scheme
%   U_l: [rho rho*u rho*E] on the left side
%   U_r: [rho rho*u rho*E] on the right side
%   t: time
%   F: [rho*u u^2+p rho*u*H] 

global gamma R;

W_l     = Q2S(U_l);
W_r     = Q2S(U_r);

rho_1   = W_l(:,1);
u_1     = W_l(:,2);
p_1     = W_l(:,3);
rho_2   = W_r(:,1);
u_2     = W_r(:,2);
p_2     = W_r(:,3);

F_0     = f_star(0,p_1,rho_1)+f_star(0,p_2,rho_2);
F_p1    = f_star(p_1,p_1,rho_1)+f_star(p_1,p_2,rho_2);
F_p2    = f_star(p_2,p_1,rho_1)+f_star(p_2,p_2,rho_2);
du      = u_1-u_2;

% determine which condition the problem belongs to
if du<=F_0
    condition=5;
elseif du>F_0 && du<=min(F_p1,F_p2)
    condition=4;
elseif du>max(F_p1,F_p2)
    condition=1;
else
    if p_1>p_2
        condition=2;
    else
        condition=3;
    end
end

%solving equation using Newton Method
fun = @(p_star)f_star(p_star,p_1,rho_1)+f_star(p_star,p_2,rho_2)-du;
[p_star,fval] = fsolve(fun,0.5*(p_1+p_2),optimset('Display','off','TolFun',1e-10));
u_star = 0.5*(u_1+u_2+f_star(p_star,p_2,rho_2)-f_star(p_star,p_1,rho_1));
% fprintf('fval = %.4e\n',fval);

% constant parameters
T_1    = p_1/R/rho_1;% ideal gas
c_1    = sqrt(gamma*R*T_1);
A_1    = rho_1*c_1*sqrt((gamma+1)/2/gamma*p_star/p_1+(gamma-1)/2/gamma);
T_2    = p_2/R/rho_2;% ideal gas
c_2    = sqrt(gamma*R*T_2);
A_2    = rho_2*c_2*sqrt((gamma+1)/2/gamma*p_star/p_2+(gamma-1)/2/gamma);


switch condition % computing left wave
    case {1,3}
        rho_1_star  = rho_1*A_1/(A_1-rho_1*(u_1-u_star));
        z_1h        = u_1-A_1/rho_1;
        z_1t        = z_1h;
    case {2,4}
        c_1_star    = c_1+(gamma-1)*(u_1-u_star)/2;
        rho_1_star  = gamma*p_star/c_1_star^2;
        z_1h        = u_1-c_1;
        z_1t        = u_star-c_1_star;
    case {5}
        c_1_star    = c_1+(gamma-1)*(u_1-u_star)/2;
        rho_1_star  = gamma*p_star/c_1_star^2;
        z_1h        = u_1-c_1;
        z_1t        = u_1-2/(gamma-1)/c_1;
end

switch condition % computing right wave
    case {1,2}
        rho_2_star  =  rho_2*A_2/(A_2-rho_2*(u_star-u_2));
        z_2h        = u_2+A_2/rho_2;
        z_2t        = z_2h;
    case {3,4}
        c_2_star    = c_2+(gamma-1)*(u_star-u_2)/2;
        rho_2_star  = gamma*p_star/c_2_star^2;
        z_2h        = u_2+c_2;
        z_2t        = u_star+c_2_star;
    case{5}
        c_2_star    = c_2+(gamma-1)*(u_star-u_2)/2;
        rho_2_star  = gamma*p_star/c_2_star^2;
        z_2h        = u_2+c_2;
        z_2t        = u_2+2/(gamma-1)/c_2;
end

x = 0;

if x<z_1h*t
    u        = u_1;
    p        = p_1;
    rho      = rho_1;
elseif x>= z_1h*t && x<z_1t*t
    c_i      = (gamma-1)/(gamma+1)*(u_1-x/t)+2/(gamma+1)*c_1;
    u        = x/t+c_i;
    p        = p_1*(c_i/c_1)^(2*gamma/(gamma-1));
    rho      = gamma*p/c_i^2;
elseif x>= z_1t*t && x<z_2t*t
    u        = u_star;
    p        = p_star;
    if x<u_star*t
        rho  = rho_1_star;
    else
        rho  = rho_2_star;
    end
elseif x>= z_2t*t && x<z_2h*t
    c_i      = (gamma-1)/(gamma+1)*(x/t-u_2)+2/(gamma+1)*c_2;
    u        = x/t-c_i;
    p        = p_2*(c_i/c_2)^(2*gamma/(gamma-1));
    rho      = gamma*p/c_i^2;
elseif x>= z_2h*t
    u        = u_2;
    p        = p_2;
    rho      = rho_2;
end

F = W2F([ rho,u,p ]);
end

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